Множество, единственным элементом которого является множество, может быть изоморфно множеству, единственным элементом которого является множество, все элементы которого образуют подгруппу элементов в множестве, которое является единственным элементом множества, с которым оно изоморфно.
Эту интуитивно очевидную теорему можно окольным путём вывести из теоремы об изоморфизме в теории групп.
Рассмотрим теперь логические системы. От простого набора теорем логическая система отличается так же, как готовое здание от груды кирпичей: в логической системе каждая последующая теорема опирается на предыдущую. Пойа отмечал, что заслуга Евклида состояла не в коллекционировании геометрических фактов, а в их логическом упорядочении. Если бы он просто свалил их в кучу, то прославился бы не больше, чем автор любого учебника по математике для средней школы.
Чтобы проиллюстрировать способы математических доказательств, мы приведём пример развёрнутой логической системы.